1. Membentuk Fungsi Keuntungan

Keuntungan (π) didefinisikan sebagai:
[
\pi(x) = TR(x) – TC(x)
]
di mana:

• TR(x) = total pendapatan sebagai fungsi jumlah output,
• TC(x) = total biaya produksi sebagai fungsi jumlah output,
• x = jumlah unit yang diproduksi/dijual.

Asumsi yang sering keliru: banyak orang menganggap pendapatan pasti linear. Padahal dalam bisnis nyata, fungsi harga bisa menurun saat kuantitas bertambah (hukum permintaan).

2. Turunan Pertama dan Titik Kritis

Untuk mencari jumlah produksi optimal:
[
\pi'(x) = 0
]
Titik ini disebut titik kritis, tempat di mana perubahan keuntungan berhenti meningkat.

Di sini muncul pertanyaan skeptis:
Apakah titik kritis itu otomatis maksimum?
Tidak. Bisa minimum atau titik datar biasa. Karena itu perlu uji lanjutan.

3. Uji Turunan Kedua

Untuk memastikan itu adalah maksimum:
[
\pi”(x) < 0
]
Artinya kemiringan fungsi sedang menurun, sehingga titik tersebut adalah puncak.

Celah umum: mahasiswa sering hanya berhenti di turunan pertama dan langsung menyimpulkan “ini maksimum.” Padahal tanpa konfirmasi kurvanya cekung ke bawah, hasilnya tidak valid.

4. Optimasi Berdasarkan Fungsi Pendapatan dan Biaya

Beberapa bentuk umum:

• Pendapatan:
  Jika harga bergantung pada jumlah (demand function):
  ( P(x) = a – bx )
  maka pendapatan
  ( TR(x) = x(a – bx) ).
• Biaya:
  Bisa linear, kuadratik, atau lebih kompleks.
  Misalnya:
  ( TC(x) = c + dx + ex^2 )

Poin kritis: siswa sering lupa bahwa biaya kuadratik menandakan biaya marginal meningkat, mencerminkan realitas manufaktur yang lebih jujur.

5. Kondisi Keuntungan Maksimum

[
MR = MC
]
Kalkulus menunjukkan bahwa keuntungan maksimum terjadi ketika marginal revenue (pendapatan marginal) sama dengan marginal cost (biaya marginal).

Alternatif interpretasi:
Saat satu unit tambahan tidak lagi menambah keuntungan, atau tambahan keuntungan = 0.

6. Optimasi Harga dengan Kalkulus

Jika variabel keputusan adalah harga (bukan jumlah produk), maka fungsi permintaan harus dimasukkan sehingga keuntungan menjadi fungsi harga:
[
\pi(P) = (P \cdot Q(P)) – TC(Q(P))
]
Proses optimasinya sama, hanya variabelnya berbeda.

Potensi bias: sering disangka bahwa menaikkan harga selalu meningkatkan keuntungan. Padahal permintaan elastis bisa menyebabkan penurunan pendapatan total.

7. Kendala (Constraint Optimization)

Jika ada batasan (kapasitas, stok, jam kerja), maka digunakan:

• metode substitusi, atau
• Lagrange Multiplier (untuk kasus lebih kompleks).

Ini penting karena optimasi tanpa kendala kadang memberi solusi impraktis atau tidak realistis.

Garis Besar Manfaat Kalkulus dalam Optimasi Keuntungan

• Memberi cara kuantitatif dan sistematis untuk menentukan keputusan optimal.
• Menghilangkan asumsi intuitif yang sering menyesatkan.
• Menguji konsistensi logika strategi bisnis (apakah benar keuntungan maksimal atau hanya terlihat “besar”).